La Matemática Detrás de la Amortización Francesa

La amortización francesa se rige por una fórmula elegante. Dado un monto de préstamo L, una tasa anual efectiva TAE y un número de pagos n, el pago fijo P es:

P = L × r / (1 − (1 + r)−n)

donde r es la tasa periódica: la TAE expresada por intervalo de pago. Para pagos mensuales sobre un préstamo con 12 pagos por año:

r = (1 + TAE)1/12 − 1

Esta conversión de tasa anual a periódica es lo que hace que la TAE sea la tasa correcta para usar en la fórmula — no la TIN nominal, ni una tasa simple dividida por el número de pagos.

Cómo se divide cada pago

Una vez que se conoce P, el calendario de amortización surge naturalmente. Para la cuota q (donde q = 1 para el primer pago):

intereses_q = saldo_q-1 × r
capital_q = P − intereses_q
saldo_q = saldo_q-1 − capital_q

Porque el saldo disminuye con cada pago, la porción de intereses intereses_q se reduce con el tiempo, mientras que la porción de capital capital_q crece. El pago P se mantiene constante.

Esta es la característica definitoria de la amortización francesa: pagos totales constantes, intereses decrecientes y reducción acelerada del capital.

Resolviendo la TAE a partir de un pago

La fórmula anterior funciona hacia adelante desde (L, TAE, n) para encontrar P. La calculadora también opera en sentido inverso: si conocés L, P y n, puede resolver la TAE implícita.

Esto requiere un resolutor numérico (búsqueda binaria en este caso), ya que la TAE aparece en ambos lados de la ecuación a través de la tasa periódica.

¿Por qué TAE y no TIN?

El TIN (Tipo de Interés Nominal) es una tasa nominal — no tiene en cuenta la capitalización dentro del año. Si un préstamo dice "12% TIN" con pagos mensuales, la tasa real que pagás es superior al 12%.

La TAE (Tasa Anual Equivalente) sí tiene en cuenta la capitalización. La relación entre TIN y TAE para m pagos por año es:

TAE = (1 + TIN/m)m − 1

Para 12 pagos por año al 12% TIN: TAE = (1 + 0,12/12)¹² − 1 ≈ 12,68%. Esto es lo que usa la calculadora.

Ajuste del último pago

Debido a errores de redondeo, el último pago de un calendario francés generalmente se ajusta ligeramente para asegurar que el saldo llegue a exactamente cero. La calculadora maneja esto verificando si el último pago produciría un saldo negativo y ajustándolo al saldo restante más los intereses devengados.